Como fatorar um número em um produto de fatores primos. Fatoração de números em fatores primos, métodos e exemplos de fatoração Fatoração de números com vários dígitos

Este artigo fornece respostas à questão de fatorar um número em uma planilha. Vejamos a ideia geral de decomposição com exemplos. Analisemos a forma canônica da expansão e seu algoritmo. Todos os métodos alternativos serão considerados usando sinais de divisibilidade e tabuadas de multiplicação.

O que significa fatorar um número em fatores primos?

Vejamos o conceito de fatores primos. Sabe-se que todo fator primo é um número primo. Num produto da forma 2 · 7 · 7 · 23 temos que temos 4 fatores primos na forma 2, 7, 7, 23.

A fatoração envolve sua representação na forma de produtos de números primos. Se precisarmos decompor o número 30, obteremos 2, 3, 5. A entrada terá o formato 30 = 2 · 3 · 5. É possível que os multiplicadores sejam repetidos. Um número como 144 tem 144 = 2 2 2 2 3 3.

Nem todos os números são propensos a decair. Números maiores que 1 e inteiros podem ser fatorados. Os números primos, quando fatorados, só são divisíveis por 1 e por eles próprios, portanto é impossível representar esses números como um produto.

Quando z se refere a números inteiros, é representado como um produto de a e b, onde z é dividido por a e b. Os números compostos são fatorados usando o teorema fundamental da aritmética. Se o número for maior que 1, então sua fatoração p 1, p 2, ..., p n assume a forma a = p 1 , p 2 , … , p n . A decomposição é assumida como sendo uma única variante.

Fatoração canônica de um número em fatores primos

Durante a expansão, os fatores podem ser repetidos. Eles são escritos de forma compacta usando graus. Se, ao decompor o número a, tivermos um fator p 1, que ocorre s 1 vezes e assim por diante p n – s n vezes. Assim a expansão assumirá a forma a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Essa entrada é chamada de fatoração canônica de um número em fatores primos.

Ao expandir o número 609840, obtemos que 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, sua forma canônica será 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Usando a expansão canônica, você pode encontrar todos os divisores de um número e seus números.

Para fatorar corretamente, você precisa entender os números primos e compostos. O objetivo é obter um número sequencial de divisores da forma p 1, p 2, ..., p n números uma, uma 1, uma 2, …, uma n - 1, isso permite obter uma = p 1 uma 1, onde a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , onde a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , onde uma n = uma n - 1: p n. Após o recebimento uma n = 1, então a igualdade a = p 1 · p 2 · … · p n obtemos a decomposição necessária do número a em fatores primos. Observe que p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤… ≤ p n.

Para encontrar os fatores menos comuns, você precisa usar uma tabela de números primos. Isso é feito usando o exemplo de como encontrar o menor divisor primo do número z. Ao pegar os números primos 2, 3, 5, 11 e assim por diante e dividir o número z por eles. Como z não é um número primo, deve-se levar em consideração que o menor divisor primo não será maior que z. Pode-se ver que não existem divisores de z, então é claro que z é um número primo.

Exemplo 1

Vejamos o exemplo do número 87. Quando é dividido por 2, temos que 87: 2 = 43 com resto 1. Segue-se que 2 não pode ser um divisor, a divisão deve ser feita inteiramente. Quando dividido por 3, obtemos 87: 3 = 29. Portanto, a conclusão é que 3 é o menor divisor primo do número 87.

Ao fatorar fatores primos, você deve usar uma tabela de números primos, onde a. Ao fatorar 95, você deve usar cerca de 10 números primos, e ao fatorar 846653, cerca de 1.000.

Consideremos o algoritmo de decomposição em fatores primos:

• encontrar o menor fator do divisor p 1 de um número um pela fórmula a 1 = a: p 1, quando a 1 = 1, então a é um número primo e está incluído na fatoração, quando diferente de 1, então a = p 1 · a 1 e siga até o ponto abaixo;
• encontrar o divisor principal p 2 de um número a 1 enumerando sequencialmente números primos usando a 2 = a 1: p 2 , quando um 2 = 1 , então a expansão assumirá a forma a = p 1 p 2 , quando a 2 = 1, então a = p 1 p 2 a 2 , e passamos para a próxima etapa;
• pesquisando números primos e encontrando um divisor primo página 3 números um 2 de acordo com a fórmula a 3 = a 2: p 3 quando a 3 = 1 , então obtemos que a = p 1 p 2 p 3 , quando diferente de 1, então a = p 1 p 2 p 3 a 3 e passe para a próxima etapa;
• o divisor principal é encontrado p n números um n - 1 enumerando números primos com pn-1, e também uma n = uma n - 1: p n, onde a n = 1, a etapa é final, como resultado obtemos que a = p 1 · p 2 · … · p n .

O resultado do algoritmo é escrito na forma de uma tabela com fatores decompostos com uma barra vertical sequencialmente em uma coluna. Considere a figura abaixo.

O algoritmo resultante pode ser aplicado decompondo números em fatores primos.

Ao fatorar fatores primos, o algoritmo básico deve ser seguido.

Exemplo 2

Fatore o número 78 em fatores primos.

Solução

Para encontrar o menor divisor primo, você precisa percorrer todos os números primos de 78. Isso é 78: 2 = 39. Divisão sem resto significa que este é o primeiro divisor simples, que denotamos como p 1. Obtemos que a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Chegamos a uma igualdade da forma a = p 1 · a 1 , onde 78 = 2 39. Então a 1 = 39, ou seja, devemos passar para o próximo passo.

Vamos nos concentrar em encontrar o divisor principal p2 números uma 1 = 39. Você deve percorrer os números primos, ou seja, 39: 2 = 19 (1 restante). Como a divisão tem resto, 2 não é um divisor. Ao escolher o número 3, obtemos 39: 3 = 13. Isso significa que p 2 = 3 é o menor divisor primo de 39 por a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Obtemos uma igualdade da forma uma = p 1 p 2 uma 2 na forma 78 = 2 3 13. Temos que 2 = 13 não é igual a 1, então devemos seguir em frente.

O menor divisor primo do número a 2 = 13 é encontrado pesquisando números, começando com 3. Obtemos 13: 3 = 4 (1 restante). Disto podemos ver que 13 não é divisível por 5, 7, 11, porque 13: 5 = 2 (descanso. 3), 13: 7 = 1 (descanso. 6) e 13: 11 = 1 (descanso. 2) . Pode-se ver que 13 é um número primo. De acordo com a fórmula fica assim: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Descobrimos que 3 = 1, o que significa a conclusão do algoritmo. Agora os fatores são escritos como 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Responder: 78 = 2 3 13.

Exemplo 3

Fatore o número 83.006 em fatores primos.

Solução

O primeiro passo envolve fatorar p 1 = 2 E a 1 = a: p 1 = 83.006: 2 = 41.503, onde 83.006 = 2 · 41.503.

A segunda etapa assume que 2, 3 e 5 não são divisores primos para o número a 1 = 41.503, mas 7 é um divisor primo, porque 41.503: 7 = 5.929. Obtemos que p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41.503: 7 = 5.929. Obviamente, 83.006 = 2 7 5 929.

Encontrar o menor divisor primo de p 4 elevado ao número a 3 = 847 é 7. Pode-se ver que a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, então 83 006 = 2 7 7 7 121.

Para encontrar o divisor principal do número a 4 = 121, usamos o número 11, ou seja, p 5 = 11. Então obtemos uma expressão da forma a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11 e 83.006 = 2 7 7 7 11 11.

Para número um 5 = 11 número p 6 = 11é o menor divisor primo. Portanto, a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Então 6 = 1. Isso indica a conclusão do algoritmo. Os fatores serão escritos como 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

A notação canônica da resposta terá a forma 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Responder: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Exemplo 4

Fatore o número 897.924.289.

Solução

Para encontrar o primeiro fator primo, pesquise os números primos, começando com 2. O final da busca ocorre no número 937. Então p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 e 897 924 289 = 937 958 297.

A segunda etapa do algoritmo é iterar sobre números primos menores. Ou seja, começamos com o número 937. O número 967 pode ser considerado primo porque é um divisor primo do número a 1 = 958.297. A partir daqui obtemos que p 2 = 967, então a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 e 897 924 289 = 937 967 991.

A terceira etapa diz que 991 é um número primo, pois não possui um único fator primo que não exceda 991. O valor aproximado da expressão radical é 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Isso mostra que p 3 = 991 e a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Descobrimos que a decomposição do número 897 924 289 em fatores primos é obtida como 897 924 289 = 937 967 991.

Responder: 897.924.289 = 937.967.991.

Usando testes de divisibilidade para fatoração primária

Para fatorar um número em fatores primos, você precisa seguir um algoritmo. Quando há números pequenos, é permitido usar a tabuada e sinais de divisibilidade. Vejamos isso com exemplos.

Exemplo 5

Se for necessário fatorar 10, então a tabela mostra: 2 · 5 = 10. Os números resultantes 2 e 5 são números primos, portanto são fatores primos do número 10.

Exemplo 6

Se for necessário decompor o número 48, então a tabela mostra: 48 = 6 8. Mas 6 e 8 não são fatores primos, pois também podem ser expandidos como 6 = 2 3 e 8 = 2 4. Então a expansão completa daqui é obtida como 48 = 6 8 = 2 3 2 4. A notação canônica terá a forma 48 = 2 4 · 3.

Exemplo 7

Ao decompor o número 3400, você pode usar sinais de divisibilidade. Neste caso, os sinais de divisibilidade por 10 e 100 são relevantes. A partir daqui obtemos que 3.400 = 34 · 100, onde 100 pode ser dividido por 10, ou seja, escrito como 100 = 10 · 10, o que significa que 3.400 = 34 · 10 · 10. Com base no teste de divisibilidade, descobrimos que 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Todos os fatores são primos. A expansão canônica assume a forma 3 400 = 2 3 5 2 17.

Quando encontramos fatores primos, precisamos usar testes de divisibilidade e tabelas de multiplicação. Se imaginarmos o número 75 como um produto de fatores, precisamos levar em consideração a regra da divisibilidade por 5. Obtemos que 75 = 5 15 e 15 = 3 5. Ou seja, a expansão desejada é um exemplo da forma do produto 75 = 5 · 3 · 5.

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Qualquer número natural pode ser decomposto em um produto de fatores primos. Se você não gosta de lidar com números grandes como 5733, aprenda como fatorá-los em fatores primos (neste caso, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Um problema semelhante é frequentemente encontrado em criptografia, que trata de problemas de segurança da informação. Se você ainda não está pronto para criar seu próprio sistema de e-mail seguro, comece aprendendo como fatorar números em fatores primos.

Passos

Parte 1

Encontrando fatores primos

1. Comece com o número original. Escolha um número composto maior que 3. Não adianta pegar um número primo, pois ele só é divisível por ele mesmo e por um.

   • Exemplo: vamos decompor o número 24 no produto dos números primos.

2. Vamos decompor esse número no produto de dois fatores. Vamos encontrar dois números menores cujo produto seja igual ao número original. Você pode usar qualquer fator, mas é mais fácil usar números primos. Uma boa maneira é tentar dividir o número original primeiro por 2, depois por 3, depois por 5 e verificar por qual desses números primos ele é divisível sem deixar resto.

   • Exemplo: Se você não conhece os fatores do número 24, tente dividi-lo em pequenos números primos. Então você descobrirá que o número fornecido é divisível por 2: 24 = 2x12. Este é um bom começo.
   • Como 2 é um número primo, é bom usá-lo ao fatorar números pares.

3. Comece a construir sua árvore multiplicadora. Este procedimento simples irá ajudá-lo a fatorar um número em seus fatores primos. Para começar, desenhe dois “ramos” abaixo do número original. No final de cada ramo escreva os fatores que você encontrou.

   • Exemplo:

4. Fatore a seguinte sequência de números. Dê uma olhada nos dois novos números (segunda linha da árvore fatorial). Ambos são números primos? Se um deles não for primo, divida-o também em dois. Desenhe mais dois ramos e escreva dois novos fatores na terceira linha da árvore.

   • Exemplo: 12 não é um número primo, portanto deve ser fatorado. Usamos a expansão 12 = 2 x 6 e escrevemos na terceira linha da árvore:
   • 2x6

5. Continue descendo a árvore. Se um dos novos fatores for um número primo, desenhe um “ramo” dele e escreva o mesmo número no final. Os números primos não são levados em consideração em números menores, então basta movê-los para um nível inferior.

   • Exemplo: 2 é um número primo. Basta mover o 2 da segunda para a terceira linha:
   • 2 2 6

6. Continue fatorando os números até ficar apenas com números primos. Verifique cada nova linha da árvore. Se pelo menos um dos novos fatores não for um número primo, fatore-o e escreva uma nova linha. Eventualmente, você ficará apenas com números primos.

   • Exemplo: 6 não é um número primo, portanto também deve ser fatorado. Ao mesmo tempo, 2 é um número primo e levamos dois pares para o próximo nível:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. Escreva a última linha como um produto de fatores primos. Eventualmente, você ficará apenas com números primos. Quando isso acontece, a fatoração está completa. A última linha é um conjunto de números primos, cujo produto dá o número original.

   • Verifique sua resposta: multiplique os números da última linha. O resultado deve ser o número original.
   • Exemplo: A última linha da árvore fatorial contém os números 2 e 3. Ambos os números são primos, portanto a fatoração está completa. Assim, a decomposição do número 24 em fatores primos é a seguinte: 24 = 2x2x2x3.
   • A ordem dos fatores não importa. A expansão também pode ser escrita como 2 x 3 x 2 x 2.

8. Se desejar, simplifique sua resposta usando notação de potência. Se você estiver familiarizado com a elevação de números a potências, poderá escrever a resposta de uma forma mais simples. Lembre-se de que a base está escrita na parte inferior e o número sobrescrito mostra quantas vezes a base deve ser multiplicada por ela mesma.

   • Exemplo: quantas vezes o número 2 aparece na decomposição encontrada 2 x 2 x 2 x 3? Três vezes, então a expressão 2 x 2 x 2 pode ser escrita como 2 3 . Em notação simplificada obtemos 2 3 x 3.

   Parte 2

   Usando fatoração primária

   1. Encontre o máximo divisor comum de dois números. O máximo divisor comum (MDC) de dois números é o número máximo que divide os dois números sem deixar resto. O exemplo abaixo mostra como usar a fatoração primária para encontrar o máximo divisor comum dos números 30 e 36.

      • Vamos fatorar ambos os números em fatores primos. Para o número 30, a expansão é 2 x 3 x 5. O número 36 é fatorado da seguinte forma: 2 x 2 x 3 x 3.
      • Vamos encontrar um número que apareça em ambas as expansões. Vamos riscar esse número em ambas as listas e escrevê-lo em uma nova linha. Por exemplo, 2 ocorre em duas expansões, então escrevemos 2 em uma nova linha. Isso nos deixa com 30 = 2 x 3 x 5 e 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
      • Repita esta ação até que não haja mais fatores comuns nas expansões. Ambas as listas também contêm o número 3, então você pode escrever em uma nova linha 2 E 3 . Depois disso, compare as expansões novamente: 30 = 2 x 3 x 5 e 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Como você pode ver, não restam fatores comuns nelas.
      • Para encontrar o máximo fator comum, você precisa encontrar o produto de todos os fatores comuns. No nosso exemplo são 2 e 3, então mdc é 2 x 3 = 6 . Este é o maior número que pode ser dividido em 30 e 36 sem deixar resto.

   2. Usando o GCD você pode simplificar frações. Se você suspeitar que uma fração pode ser reduzida, use o máximo divisor comum. Usando o procedimento descrito acima, encontre o mdc do numerador e do denominador. Em seguida, divida o numerador e o denominador da fração por esse número. Como resultado, você obterá a mesma fração de uma forma mais simples.

      • Por exemplo, vamos simplificar a fração 30/36. Como estabelecemos acima, para 30 e 36 o mdc é 6, então dividimos o numerador e o denominador por 6:
      • 30÷6 = 5
      • 36÷6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. Vamos encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números. O mínimo múltiplo comum (LCM) de dois números é o menor número divisível por ambos os números dados sem deixar resto. Por exemplo, o MMC de 2 e 3 é 6 porque é o menor número divisível por 2 e 3. Abaixo está um exemplo de como encontrar o MMC usando fatoração primária:

      • Vamos começar com duas fatorações primárias. Por exemplo, para o número 126, a fatoração pode ser escrita como 2 x 3 x 3 x 7. O número 84 é fatorado como 2 x 2 x 3 x 7.
      • Vamos comparar quantas vezes cada fator aparece nas expansões. Selecione a lista onde o multiplicador aparece o número máximo de vezes e circule-a. Por exemplo, o número 2 aparece uma vez na lista para 126 e duas vezes na lista para 84, então você deve circular 2x2 na segunda lista de multiplicadores.
      • Repita esta etapa para cada multiplicador. Por exemplo, 3 ocorre com mais frequência na primeira expansão, então você deve circulá-lo 3x3. O número 7 aparece uma vez em ambas as listas, então circule 7 (não importa em qual lista, se um determinado multiplicador aparecer em ambas as listas o mesmo número de vezes).
      • Para encontrar o MMC, multiplique todos os números circulados. No nosso exemplo, o mínimo múltiplo comum de 126 e 84 é 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Este é o menor número divisível por 126 e 84 sem resto.

   4. Use LCM para adicionar frações. Ao adicionar duas frações, você precisa trazê-las para um denominador comum. Para fazer isso, encontre o MMC de dois denominadores. Em seguida, multiplique o numerador e o denominador de cada fração por um número tal que os denominadores das frações se tornem iguais ao MMC. Depois disso você pode adicionar as frações.

      • Por exemplo, você precisa encontrar a soma 1/6 + 4/21.
      • Usando o método acima, você pode encontrar o MMC para 6 e 21. É igual a 42.
      • Vamos transformar a fração 1/6 para que seu denominador seja igual a 42. Para fazer isso, você precisa dividir 42 por 6: 42 ÷ 6 = 7. Agora multiplique o numerador e o denominador da fração por 7: 1/6 x 7/7 = 7/42.
      • Para trazer a segunda fração ao denominador 42, divida 42 por 21: 42 ÷ 21 = 2. Multiplique o numerador e o denominador da fração por 2: 4/21 x 2/2 = 8/42.
      • Uma vez que as frações são reduzidas ao mesmo denominador, elas podem ser facilmente somadas: 7/42 + 8/42 = 15/42.

Esta é uma das maneiras mais básicas de simplificar uma expressão. Para aplicar este método, vamos lembrar a lei distributiva da multiplicação em relação à adição (não tenha medo dessas palavras, você definitivamente conhece essa lei, só pode ter esquecido seu nome).

A lei diz: para multiplicar a soma de dois números por um terceiro número, é preciso multiplicar cada termo por esse número e somar os resultados resultantes, ou seja, .

Você também pode fazer a operação inversa, e é essa operação inversa que nos interessa. Como pode ser visto na amostra, o fator comum a pode ser retirado do colchete.

Uma operação semelhante pode ser feita tanto com variáveis, como e, por exemplo, quanto com números: .

Sim, este é um exemplo muito elementar, assim como o exemplo dado anteriormente, com a decomposição de um número, porque todos sabem que os números são divisíveis por, mas e se você obtivesse uma expressão mais complicada:

Como você descobre por que, por exemplo, um número é divisível? Não, qualquer um pode fazer isso com uma calculadora, mas sem ela é difícil? E para isso existem sinais de divisibilidade, vale muito a pena conhecer esses sinais, eles vão te ajudar a entender rapidamente se o fator comum pode ser retirado do colchete.

Sinais de divisibilidade

Provavelmente não é tão difícil lembrá-los; a maioria deles já é familiar para você e alguns serão uma nova descoberta útil, mais detalhes na tabela:

Nota: A tabela não contém o teste de divisibilidade por 4. Se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4, então o número inteiro será divisível por 4.

Bem, você gostou do sinal? Aconselho você a se lembrar disso!

Bom, voltemos à expressão, talvez ele consiga tirar do colchete e basta? Não, os matemáticos tendem a simplificar, então ao máximo, suportar TUDO o que é suportado!

E então, tudo fica claro no jogo, mas e a parte numérica da expressão? Ambos os números são ímpares, então você não pode dividir por

Você pode usar o teste de divisibilidade: a soma dos dígitos, e, que compõem o número é igual, e divisível por, significa divisível por.

Sabendo disso, podemos dividir com segurança em uma coluna e, como resultado da divisão por, obtemos (os sinais de divisibilidade são úteis!). Assim, podemos tirar o número dos colchetes, assim como y, e como resultado temos:

Para ter certeza de que tudo foi expandido corretamente, você pode verificar a expansão multiplicando!

O fator comum também pode ser expresso em termos de potência. Aqui, por exemplo, você vê o multiplicador comum?

Todos os membros desta expressão têm xes - tiramos, estão todos divididos por - tiramos de novo, olha o que aconteceu: .

2. Fórmulas de multiplicação abreviadas

Fórmulas de multiplicação abreviadas já foram mencionadas em teoria; se você tiver dificuldade em lembrar o que são, refresque sua memória.

Bem, se você se considera muito inteligente e tem preguiça de ler tamanha nuvem de informações, continue lendo, veja as fórmulas e siga imediatamente os exemplos.

A essência dessa decomposição é perceber uma determinada fórmula na expressão que está à sua frente, aplicá-la e assim obter o produto de algo e alguma coisa, isso é toda a decomposição. A seguir estão as fórmulas:

Agora tente fatorar as seguintes expressões usando as fórmulas acima:

Aqui está o que deveria ter acontecido:

Como você notou, essas fórmulas são uma forma de fatorar muito eficaz; nem sempre é adequada, mas pode ser muito útil!

3. Agrupamento ou método de agrupamento

Aqui está outro exemplo para você:

Então, o que você vai fazer com isso? Parece que algo está dividido em e em, e algo em e em

Mas você não pode dividir tudo em uma só coisa, bem não há fator comum aqui, não importa sua aparência, o que você deve deixar assim, sem levar em consideração os fatores?

Aqui você precisa mostrar engenhosidade, e o nome dessa engenhosidade é agrupamento!

É usado precisamente quando nem todos os membros possuem divisores comuns. Para agrupar você precisa encontrar grupos de termos que tenham fatores comuns e reorganize-os para que o mesmo fator possa ser obtido de cada grupo.

Claro, não é necessário reorganizá-los, mas isso dá clareza; para maior clareza, você pode colocar partes individuais da expressão entre colchetes, não é proibido colocá-las o quanto quiser, o principal é não confundir; os sinais.

Tudo isso não está muito claro? Deixe-me explicar com um exemplo:

Em um polinômio - colocamos o termo - após o termo - obtemos

agrupamos os dois primeiros termos em um colchete separado e também agrupamos o terceiro e o quarto termos, retirando o sinal de menos do colchete, obtemos:

E agora olhamos separadamente para cada uma das duas “pilhas” nas quais dividimos a expressão entre colchetes.

O truque é dividi-lo em pilhas das quais o maior fator pode ser retirado ou, como neste exemplo, tentar agrupar os termos de modo que, após remover os fatores das pilhas entre colchetes, ainda tenhamos as mesmas expressões dentro dos colchetes.

De ambos os colchetes retiramos os fatores comuns dos termos, do primeiro colchetes e do segundo obtemos:

Mas isso não é decomposição!

Pburro decomposição deve permanecer apenas multiplicação, mas por enquanto nosso polinômio está simplesmente dividido em duas partes...

MAS! Este polinômio tem um fator comum. Esse

além do colchete e obtemos o produto final

Bingo! Como vocês podem ver, aqui já existe um produto e fora dos colchetes não há adição ou subtração, a decomposição está completa, pois Não temos mais nada a tirar dos colchetes.

Pode parecer um milagre que, depois de retirar os fatores dos colchetes, tenhamos ficado com expressões idênticas entre colchetes, que novamente colocamos fora dos colchetes.

E isso não é um milagre, o fato é que os exemplos nos livros didáticos e no Exame Estadual Unificado são feitos especialmente para que a maioria das expressões em tarefas de simplificação ou fatoração com a abordagem correta, eles são facilmente simplificados e desmoronam drasticamente como um guarda-chuva quando você pressiona um botão, então procure esse mesmo botão em cada expressão.

Me distraí, o que estamos fazendo com a simplificação? O intrincado polinômio assumiu uma forma mais simples: .

Concordo, não é tão volumoso quanto era?

4. Selecionando um quadrado completo.

Às vezes, para aplicar fórmulas abreviadas de multiplicação (repita o tópico), é necessário transformar um polinômio existente, apresentando um de seus termos como soma ou diferença de dois termos.

Nesse caso, você aprenderá com o exemplo:

Um polinômio nesta forma não pode ser expandido usando fórmulas de multiplicação abreviadas, portanto deve ser transformado. Talvez a princípio não seja óbvio para você qual termo deve ser dividido em qual, mas com o tempo você aprenderá a ver imediatamente as fórmulas para multiplicação abreviada, mesmo que não estejam totalmente presentes, e determinará rapidamente o que está faltando. a fórmula completa, mas por enquanto - aprenda , um estudante, ou melhor, um estudante.

Para a fórmula completa da diferença quadrada, aqui você precisa. Vamos imaginar o terceiro termo como uma diferença, obtemos: À expressão entre parênteses, pode-se aplicar a fórmula do quadrado da diferença (não confundir com diferença de quadrados!!!), temos: , a esta expressão podemos aplicar a fórmula da diferença de quadrados (não confundir com a diferença quadrática!!!), imaginando como, obtemos: .

Uma expressão fatorada nem sempre parece mais simples e menor do que era antes da expansão, mas desta forma ela se torna mais flexível, no sentido de que você não precisa se preocupar com mudanças de sinais e outras bobagens matemáticas. Bem, para que você decida por si mesmo, as seguintes expressões precisam ser fatoradas.

Exemplos:

Respostas:​

5. Fatoração de um trinômio quadrático

Para a decomposição de um trinômio quadrático em fatores, veja mais exemplos de decomposição.

Exemplos de 5 métodos para fatorar um polinômio

1. Tirando o fator comum dos colchetes. Exemplos.

Você se lembra o que é a lei distributiva? Esta é a regra:

Exemplo:

Fatore o polinômio.

Solução:

Outro exemplo:

Fatore isso.

Solução:

Se o termo inteiro for retirado dos colchetes, uma unidade permanecerá entre colchetes!

2. Fórmulas de multiplicação abreviadas. Exemplos.

As fórmulas que usamos com mais frequência são diferença de quadrados, diferença de cubos e soma de cubos. Você se lembra dessas fórmulas? Caso contrário, repita o tópico com urgência!

Exemplo:

Fatore a expressão.

Solução:

Nesta expressão é fácil descobrir a diferença dos cubos:

Exemplo:

Solução:

3. Método de agrupamento. Exemplos

Às vezes você pode trocar os termos para que o mesmo fator possa ser extraído de cada par de termos adjacentes. Esse fator comum pode ser retirado do colchete e o polinômio original se transformará em um produto.

Exemplo:

Fatore o polinômio.

Solução:

Vamos agrupar os termos da seguinte forma:
.

No primeiro grupo retiramos o fator comum dos colchetes e no segundo - :
.

Agora o fator comum também pode ser retirado dos colchetes:
.

4. Método para selecionar um quadrado completo. Exemplos.

Se o polinômio pode ser representado como a diferença dos quadrados de duas expressões, resta aplicar a fórmula abreviada de multiplicação (diferença de quadrados).

Exemplo:

Fatore o polinômio.

Solução:Exemplo:

\begin(matriz)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(quadrado\ soma\ ((\esquerda (x+3 \direita))^(2)))-9-7=((\esquerda(x+3 \direita))^(2))-16= \\
=\esquerda(x+3+4 \direita)\esquerda(x+3-4 \direita)=\esquerda(x+7 \direita)\esquerda(x-1 \direita) \\
\fim(matriz)

Fatore o polinômio.

Solução:

\begin(matriz)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(quadrado\ diferenças((\esquerda(((x)^(2))-2 \direita))^(2)))-4-1=((\esquerda(((x)^ (2))-2 \direita))^(2))-5= \\
=\esquerda(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \direita)\esquerda(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \direita) \\
\fim(matriz)

5. Fatoração de um trinômio quadrático. Exemplo.

Um trinômio quadrado é um polinômio da forma, onde - o desconhecido, - alguns números, e.

Os valores da variável que fazem o trinômio quadrático desaparecer são chamados de raízes do trinômio. Portanto, as raízes de um trinômio são as raízes de uma equação quadrática.

Teorema.

Exemplo:

Vamos fatorar o trinômio quadrático: .

Primeiro, vamos resolver a equação quadrática: Agora podemos escrever a fatoração deste trinômio quadrático:

Agora sua opinião...

Descrevemos em detalhes como e por que fatorar um polinômio.

Demos muitos exemplos de como fazer isso na prática, apontamos armadilhas, demos soluções...

O que você diz?

O que você acha deste artigo? Você usa essas técnicas? Você entende a essência deles?

Escreva nos comentários e... prepare-se para o exame!

Até agora ele é o mais importante da sua vida.

Qualquer número composto pode ser fatorado em fatores primos. Pode haver vários métodos de decomposição. Qualquer um dos métodos produz o mesmo resultado.

Como decompor um número em fatores primos da maneira mais conveniente? Vejamos a melhor forma de fazer isso usando exemplos específicos.

Exemplos.

1) Fatore o número 1400 em fatores primos.

1400 é divisível por 2. 2 é um número primo; não há necessidade de fatorá-lo. Obtemos 700. Dividimos por 2. Obtemos 350. Também dividimos 350 por 2. O número resultante 175 pode ser dividido por 5. O resultado é 35 - dividimos por 5 novamente. O total é 7. Só pode ser. dividido por 7. Obtemos 1, divisão encerrada.

É conveniente dividir 1400 por 10. 10 não é um número primo, portanto precisa ser fatorado em fatores primos: 10=2∙5. O resultado é 140. Dividimos novamente por 10=2∙5. Obtemos 14. Se 14 for dividido por 14, então também deverá ser decomposto em um produto de fatores primos: 14=2∙7.

Assim, chegamos novamente à mesma decomposição do primeiro caso, porém mais rápida.

Conclusão: ao decompor um número não é necessário dividi-lo apenas em fatores primos. Dividimos pelo que for mais conveniente, por exemplo, por 10. Basta lembrar de decompor os divisores compostos em fatores simples.

2) Fatore o número 1620 em fatores primos.

A maneira mais conveniente de dividir o número 1620 é por 10. Como 10 não é um número primo, nós o representamos como um produto de fatores primos: 10=2∙5. Obtivemos 162. É conveniente dividir por 2. O resultado é 81. O número 81 pode ser dividido por 3, mas por 9 é mais conveniente. Como 9 não é um número primo, expandimos-o como 9=3∙3. Obtemos 9. Também dividimos por 9 e expandimos no produto de fatores primos.

O que significa fatoração? Como fazer isso? O que você pode aprender fatorando um número em fatores primos? As respostas a estas perguntas são ilustradas com exemplos específicos.

Definições:

Um número que possui exatamente dois divisores diferentes é chamado de primo.

Um número que possui mais de dois divisores é chamado composto.

Fatorar um número natural significa representá-lo como um produto de números naturais.

Fatorar um número natural em fatores primos significa representá-lo como um produto de números primos.

Notas:

• Na decomposição de um número primo, um dos fatores é igual a um e o outro é igual ao próprio número.
• Não faz sentido falar em fatorar a unidade.
• Um número composto pode ser fatorado em fatores, cada um dos quais é diferente de 1.

	Vamos fatorar o número 150. Por exemplo, 150 é 15 vezes 10. 15 é um número composto. Pode ser fatorado em fatores primos de 5 e 3. 10 é um número composto. Pode ser fatorado em fatores primos de 5 e 2. Ao escrever suas decomposições em fatores primos em vez de 15 e 10, obtivemos a decomposição do número 150.
	O número 150 pode ser fatorado de outra maneira. Por exemplo, 150 é o produto dos números 5 e 30. 5 é um número primo. 30 é um número composto. Pode ser pensado como o produto de 10 e 3. 10 é um número composto. Pode ser fatorado em fatores primos de 5 e 2. Obtivemos a fatoração de 150 em fatores primos de uma maneira diferente.
	Observe que a primeira e a segunda expansões são iguais. Eles diferem apenas na ordem dos fatores. É costume escrever os fatores em ordem crescente.
Todo número composto pode ser fatorado em fatores primos de uma forma única, até a ordem dos fatores.

Ao fatorar números grandes em fatores primos, use a notação de coluna:

	O menor número primo divisível por 216 é 2. Divida 216 por 2. Obtemos 108.
	O número resultante 108 é dividido por 2. Vamos fazer a divisão. O resultado é 54.
	De acordo com o teste de divisibilidade por 2, o número 54 é divisível por 2. Depois de dividir, obtemos 27.
	O número 27 termina com o dígito ímpar 7. Isto Não é divisível por 2. O próximo número primo é 3. Divida 27 por 3. Obtemos 9. Menos primo O número pelo qual 9 é divisível é 3. Três é um número primo e é divisível por ele mesmo e por um; Vamos dividir 3 por nós mesmos. No final conseguimos 1.

• Um número é divisível apenas pelos números primos que fazem parte de sua decomposição.
• Um número é divisível apenas naqueles números compostos cuja decomposição em fatores primos está completamente contida nele.

Vejamos exemplos:

	4.900 é divisível pelos números primos 2, 5 e 7 (estão incluídos na expansão do número 4.900), mas não é divisível, por exemplo, por 13.
	11 550 75. Isso ocorre porque a decomposição do número 75 está completamente contida na decomposição do número 11550. O resultado da divisão será o produto dos fatores 2, 7 e 11. 11550 não é divisível por 4 porque há dois a mais na expansão de quatro.

Encontre o quociente da divisão do número a pelo número b, se esses números forem decompostos em fatores primos da seguinte forma: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	A decomposição do número b está completamente contida na decomposição do número a.
	O resultado da divisão de a por b é o produto dos três números restantes na expansão de a. Então a resposta é: 30.

Referências

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Nos bastidores de um livro de matemática. - M.: Educação, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática da 5ª à 6ª série. - M.: ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matemática 5-6. Um manual para alunos do 6º ano da escola por correspondência MEPhI. - M.: ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matemática: Livro didático-interlocutor para 5ª a 6ª séries do ensino médio. - M.: Educação, Biblioteca de Professores de Matemática, 1989.

1. Portal da Internet Matematika-na.ru ().
2. Portal da Internet Math-portal.ru ().

Trabalho de casa

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Nº 127, Nº 129, Nº 141.
2. Outras tarefas: Nº 133, Nº 144.