Existuje mnoho typov čísel, jedným z nich sú celé čísla. Zdá sa, že celé čísla uľahčili počítanie nielen v pozitívna stránka, ale aj negatívne.
Pozrime sa na príklad:
Cez deň bola vonkajšia teplota 3 stupne. K večeru teplota klesla o 3 stupne.
3-3=0
Vonku bolo 0 stupňov. A v noci teplota klesla o 4 stupne a teplomer začal ukazovať -4 stupne.
0-4=-4
Séria celých čísel.
Takýto problém nemôžeme opísať pomocou prirodzených čísel, budeme tento problém uvažovať na súradnicovej čiare.
Dostali sme sériu čísel:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Tento rad čísel sa nazýva rad celých čísel.
Kladné celé čísla. Záporné celé čísla.
Séria celých čísel pozostáva z kladných a záporných čísel. Napravo od nuly sú prirodzené čísla, alebo sa tiež nazývajú kladné celé čísla. A idú vľavo od nuly záporné celé čísla.
Nula nie je ani kladné, ani záporné číslo. Je to hranica medzi kladnými a zápornými číslami.
je množina čísel pozostávajúca z prirodzených čísel, záporných celých čísel a nuly.
Rad celých čísel v kladnom a zápornom smere je nekonečné číslo.
Ak vezmeme akékoľvek dve celé čísla, potom sa budú volať čísla medzi týmito celými číslami konečná množina.
Napríklad:
Zoberme si celé čísla od -2 do 4. Všetky čísla medzi týmito číslami sú zahrnuté v konečnej množine. Naša konečná množina čísel vyzerá takto:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Prirodzené čísla sa označujú latinským písmenom N.
Celé čísla sa označujú latinským písmenom Z. Celá množina prirodzených čísel a celých čísel môže byť znázornená na obrázku. 
Nekladné celé čísla inými slovami, sú to záporné celé čísla.
Nezáporné celé čísla sú kladné celé čísla.
TO celé čísla zahŕňajú prirodzené čísla, nulu a čísla opačné k prirodzeným číslam.
Celé čísla sú kladné celé čísla.
Napríklad: 1, 3, 7, 19, 23 atď. Takéto čísla používame na počítanie (na stole je 5 jabĺk, auto má 4 kolesá atď.)
Latinské písmeno \mathbb(N) - označené množina prirodzených čísel.
Prirodzené čísla nemôžu zahŕňať záporné čísla (stolička nemôže mať záporný počet nôh) a zlomkové čísla (Ivan nedokázal predať 3,5 bicykla).
Opakom prirodzených čísel sú záporné celé čísla: −8, −148, −981, ….
Aritmetické operácie s celými číslami
Čo môžete robiť s celými číslami? Dajú sa navzájom násobiť, sčítať a odčítať. Pozrime sa na každú operáciu na konkrétnom príklade.
Sčítanie celých čísel
Dve celé čísla s rovnakými znamienkami sa sčítajú takto: sčítajú sa moduly týchto čísel a výslednému súčtu predchádza koncové znamienko:
(+11) + (+9) = +20
Odčítanie celých čísel
Dve celé čísla s rôzne znamenia sa sčítajú takto: modul menšieho sa odpočíta od modulu väčšieho čísla a pred výslednú odpoveď sa umiestni znamienko väčšieho modulu čísla:
(-7) + (+8) = +1
Násobenie celých čísel
Ak chcete vynásobiť jedno celé číslo druhým, musíte vynásobiť moduly týchto čísel a vložiť znamienko „+“ pred výslednú odpoveď, ak pôvodné čísla mali rovnaké znamienka, a znamienko „-“, ak mali pôvodné čísla iné znaky:
(-5)\cdot (+3) = -15
(-3)\cdot (-4) = +12
Malo by sa pamätať na nasledujúce pravidlo pre násobenie celých čísel:
+ \cdot + = +
+ \cdot - = -
- \cdot + = -
- \cdot - = +
Existuje pravidlo pre násobenie viacerých celých čísel. Pripomeňme si to:
Znamienko produktu bude „+“, ak je počet faktorov s negatívny znak párne a „-“, ak je počet faktorov so záporným znamienkom nepárny.
(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120
Celočíselné delenie
Delenie dvoch celých čísel sa vykonáva takto: modul jedného čísla sa vydelí modulom druhého a ak sú znamienka čísel rovnaké, pred výsledný kvocient sa umiestni znamienko „+“. a ak sú znamienka pôvodných čísel odlišné, umiestni sa znamienko „-“.
(-25) : (+5) = -5
Vlastnosti sčítania a násobenia celých čísel
Pozrime sa na základné vlastnosti sčítania a násobenia pre ľubovoľné celé čísla a, b a c:
- a + b = b + a - komutatívna vlastnosť sčítania;
- (a + b) + c = a + (b + c) - kombinatívna vlastnosť sčítania;
- a \cdot b = b \cdot a - komutatívna vlastnosť násobenia;
- (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- asociatívne vlastnosti násobenia;
- a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- distributívna vlastnosť násobenia.
Celé čísla - sú to prirodzené čísla, ako aj ich protiklady a nula.
Celé čísla— rozšírenie množiny prirodzených čísel N, ktorý sa získa pridaním do N 0 a záporné čísla ako − n. Množina celých čísel označuje Z.
Súčet, rozdiel a súčin celých čísel dáva opäť celé čísla, t.j. celé čísla tvoria kruh vzhľadom na operácie sčítania a násobenia.
Celé čísla na číselnej osi:
Koľko celých čísel? Koľko celých čísel? Neexistuje najväčšie a najmenšie celé číslo. Táto séria je nekonečná. Najväčšie a najmenšie celé číslo neexistuje.
Prirodzené čísla sa tiež nazývajú pozitívne celé čísla, t.j. fráza "prirodzené číslo" a "kladné celé číslo" sú to isté.
Zlomky ani desatinné miesta nie sú celé čísla. Existujú však zlomky s celými číslami.
Príklady celých čísel: -8, 111, 0, 1285642, -20051 a tak ďalej.
Zjednodušene povedané, celé čísla sú (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - postupnosť celých čísel. Teda tie, ktorých zlomková časť (()) sa rovná nule. Nemajú žiadne akcie.
Prirodzené čísla sú celé, kladné čísla. Celé čísla, príklady: (1,2,3,4...+ ∞).
Operácie s celými číslami.
1. Súčet celých čísel.
Ak chcete pridať dve celé čísla s rovnakými znamienkami, musíte pridať moduly týchto čísel a umiestniť posledné znamienko pred súčet.
Príklad:
(+2) + (+5) = +7.
2. Odčítanie celých čísel.
Ak chcete pridať dve celé čísla s rôznymi znamienkami, musíte odpočítať modul čísla, ktoré je väčšie, od modulu čísla, ktoré je menšie, a pred odpoveďou uviesť znamienko väčšieho čísla modulu.
Príklad:
(-2) + (+5) = +3.
3. Násobenie celých čísel.
Ak chcete vynásobiť dve celé čísla, musíte vynásobiť moduly týchto čísel a umiestniť znamienko plus (+) pred súčin, ak boli pôvodné čísla rovnakého znamienka, a znamienko mínus (-), ak boli odlišné.
Príklad:
(+2) ∙ (-3) = -6.
Pri vynásobení viacerých čísel bude znamienko súčinu kladné, ak je počet kladných faktorov párny, a záporné, ak je počet záporných faktorov nepárny.
Príklad:
(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 nepozitívne faktory).
4. Delenie celých čísel.
Ak chcete rozdeliť celé čísla, musíte vydeliť modul jedného modulu modulom druhého a pred výsledok umiestniť znamienko „+“, ak sú znamienka čísel rovnaké, a znamienko mínus, ak sú odlišné.
Príklad:
(-12) : (+6) = -2.
Vlastnosti celých čísel.
Z nie je uzavreté delením 2 celými číslami ( napríklad 1/2). Nižšie uvedená tabuľka ukazuje niektoré základné vlastnosti sčítania a násobenia pre akékoľvek celé číslo a, b A c.
|
Nehnuteľnosť |
prídavok |
násobenie |
|
izolácia |
a + b- celý |
a × b- celý |
|
asociatívnosť |
a + (b + c) = (a + b) + c |
a × ( b × c) = (a × b) × c |
|
komutatívnosť |
a + b = b + a |
a × b = b × a |
|
existencie neutrálny prvok |
a + 0 = a |
a × 1 = a |
|
existencie opačný prvok |
a + (−a) = 0 |
a ≠ ± 1 ⇒ 1/a nie je celé číslo |
|
distributivita násobenie relatívne prídavok |
a × ( b + c) = (a × b) + (a × c) |
|
Z tabuľky to môžeme usúdiť Z je komutatívny kruh s jednotou pri sčítaní a násobení.
Štandardné delenie na množine celých čísel neexistuje, ale existuje tzv rozdelenie so zvyškom: pre všetky celé čísla a A b, b≠0, existuje jedna množina celých čísel q A r, Čo a = bq + r A 0≤r<|b| , Kde |b|- absolútna hodnota (modul) čísla b. Tu a- deliteľné, b- delič, q- súkromné, r- zvyšok.
Prirodzené čísla sú čísla, ktorými to všetko začalo. A dnes sú to prvé čísla, s ktorými sa človek v živote stretáva, keď sa v detstve učí počítať na prstoch alebo počítať paličky.Definícia: Prirodzené čísla sú čísla, ktoré sa používajú na počítanie predmetov (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Číslo 0 nie je prirodzené. Má svoju vlastnú samostatnú históriu v dejinách matematiky a objavila sa oveľa neskôr ako prirodzené čísla.]
Množinu všetkých prirodzených čísel (1, 2, 3, 4, 5, ...) označujeme písmenom N.
Celé čísla
Potom, čo sme sa naučili počítať, ďalšia vec, ktorú urobíme, je naučiť sa vykonávať aritmetické operácie s číslami. Zvyčajne sa najprv učia sčítanie a odčítanie (pomocou počítacích paličiek).So sčítaním je všetko jasné: sčítaním ľubovoľných dvoch prirodzených čísel bude výsledkom vždy rovnaké prirodzené číslo. Ale pri odčítaní zistíme, že nemôžeme odčítať väčšie od menšieho, takže výsledkom je prirodzené číslo. (3 − 5 = čo?) Tu vstupuje do hry myšlienka záporných čísel. (Záporné čísla už nie sú prirodzené čísla)
V štádiu výskytu záporných čísel (a objavili sa neskôr ako zlomkové) boli aj ich odporcovia, ktorí ich považovali za nezmysly. (Na prstoch sa dajú zobraziť tri predmety, desať, prirovnaním sa dá znázorniť tisíc predmetov. A čo je „mínus tri vrecia“? - V tom čase sa už čísla používali samostatne, oddelene od konkrétnych predmety, ktorých počet označujú, boli stále v mysliach ľudí oveľa bližšie k týmto špecifickým subjektom ako dnes.) Ale rovnako ako námietky, hlavný argument v prospech záporných čísel pochádza z praxe: záporné čísla umožnili pohodlne počítať dlhy. 3 − 5 = −2 - Mal som 3 mince, minul som 5. To znamená, že mi nielen došli mince, ale ešte som niekomu dlžil 2 mince. Ak vrátim jednu, dlh sa zmení −2+1=−1, ale môže byť vyjadrený aj záporným číslom.
V dôsledku toho sa v matematike objavili záporné čísla a teraz máme nekonečný počet prirodzených čísel (1, 2, 3, 4, ...) a existuje rovnaký počet ich protikladov (−1, −2, − 3, -4, ...). Pridajme k nim ďalšiu 0 A množinu všetkých týchto čísel budeme nazývať celé čísla.
Definícia: Prirodzené čísla, ich protiklady a nula tvoria množinu celých čísel. Označuje sa písmenom Z.
Akékoľvek dve celé čísla možno od seba odčítať alebo sčítať a vytvoriť tak celé číslo.
Myšlienka sčítania celých čísel už naznačuje možnosť násobenia ako jednoducho rýchlejší spôsob sčítania. Ak máme 7 vriec po 6 kilogramoch, môžeme pridať 6+6+6+6+6+6+6 (pripočítame 6 k aktuálnemu súčtu sedemkrát), alebo si jednoducho zapamätáme, že výsledkom takejto operácie bude vždy 42. Rovnako ako pridanie šiestich sedmičiek, aj 7+7+7+7+7+7 vždy dá 42.
Výsledky operácie pridávania istýčísla so sebou istý koľkokrát sa vypíše pre všetky dvojice čísel od 2 do 9 a vytvorí sa násobilka. Na násobenie celých čísel väčších ako 9 je vynájdené pravidlo násobenia stĺpcov. (Čo platí aj pre desatinné zlomky a o čom bude reč v niektorom z nasledujúcich článkov.) Pri vzájomnom vynásobení ľubovoľných dvoch celých čísel bude výsledkom vždy celé číslo.
Racionálne čísla
Teraz rozdelenie. Rovnako ako odčítanie je inverzná operácia sčítania, prichádzame k myšlienke delenia ako inverznej operácie násobenia.Keď sme mali 7 vriec po 6 kilogramoch, pomocou násobenia sme ľahko vypočítali, že celková hmotnosť obsahu vriec bola 42 kilogramov. Predstavme si, že sme celý obsah všetkých vriec vysypali na jednu spoločnú kôpku s hmotnosťou 42 kilogramov. A potom si to rozmysleli a chceli obsah distribuovať späť do 7 vriec. Koľko kilogramov skončí v jednom vreci, ak ho rozdelíme rovnomerne? - Samozrejme, 6.
Čo ak chceme rozdeliť 42 kilogramov do 6 vriec? Tu si budeme myslieť, že rovnakých celkových 42 kilogramov by sa dalo získať, keby sme na hromadu nasypali 6 vriec po 7 kilogramoch. A to znamená, že pri rovnomernom rozdelení 42 kilogramov do 6 vriec dostaneme 7 kilogramov v jednom vreci.
Čo ak rozdelíte 42 kilogramov rovnomerne do 3 vriec? A aj tu začneme vyberať číslo, ktoré by po vynásobení 3 dalo 42. Pre „tabuľkové“ hodnoty, ako v prípade 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7, vykonáme delenie operáciu jednoduchým vyvolaním tabuľky násobenia. Pre zložitejšie prípady sa používa delenie stĺpcov, o ktorom bude reč v niektorom z nasledujúcich článkov. V prípade 3 a 42 si môžete „vybrať“, aby ste si zapamätali, že 3 · 14 = 42. To znamená 42:3 = 14. Každá taška bude obsahovať 14 kilogramov.
Teraz skúsme rozdeliť 42 kilogramov rovným dielom do 5 vriec. 42:5=?
Všimli sme si, že 5 · 8 = 40 (málo) a 5 · 9 = 45 (veľa). To znamená, že z 5 vriec nedostaneme 42 kilogramov, ani 8 kilogramov vo vreci, ani 9 kilogramov. Zároveň je jasné, že v skutočnosti nám nič nebráni rozdeliť akékoľvek množstvo (napríklad obilniny) na 5 rovnakých častí.
Operácia delenia celých čísel navzájom nemusí nevyhnutne viesť k celému číslu. Takto sme sa dostali k pojmu zlomky. 42:5 = 42/5 = 8 celých 2/5 (ak sa počíta v zlomkoch) alebo 42:5 = 8,4 (ak sa počíta v desatinných číslach).
Bežné a desatinné zlomky
Môžeme povedať, že akýkoľvek obyčajný zlomok m/n (m je ľubovoľné celé číslo, n je ľubovoľné prirodzené číslo) je jednoducho špeciálna forma zápisu výsledku delenia čísla m číslom n. (m sa nazýva čitateľ zlomku, n je menovateľ) Výsledok delenia napríklad čísla 25 číslom 5 môžeme zapísať aj ako obyčajný zlomok 25/5. Ale to nie je potrebné, pretože výsledok delenia 25 číslom 5 možno jednoducho zapísať ako celé číslo 5. (A 25/5 = 5). Ale výsledok delenia čísla 25 číslom 3 už nemôže byť reprezentovaný ako celé číslo, takže tu vzniká potreba použiť zlomok, 25:3 = 25/3. (Celú časť rozlíšite 25/3 = 8 celých 1/3. Obyčajným zlomkom a operáciám s obyčajnými zlomkami sa budeme podrobnejšie venovať v nasledujúcich článkoch.)Na obyčajných zlomkoch je dobré, že ak chcete zobraziť výsledok delenia akýchkoľvek dvoch celých čísel ako taký zlomok, musíte jednoducho napísať dividendu do čitateľa zlomku a deliteľa do menovateľa. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Potom, ak je to možné, zmenšite zlomok a/alebo izolujte celú časť (tieto akcie s obyčajnými zlomkami bude podrobne popísané v nasledujúcich článkoch). Problém je v tom, že vykonávať aritmetické operácie (sčítanie, odčítanie) s obyčajnými zlomkami už nie je také pohodlné ako s celými číslami.
Pre pohodlie písania (v jednom riadku) a pre pohodlie výpočtov (s možnosťou výpočtov v stĺpci, ako pre bežné celé čísla) boli okrem obyčajných zlomkov vynájdené aj desatinné zlomky. Desatinný zlomok je špeciálne písaný obyčajný zlomok s menovateľom 10, 100, 1000 atď. Napríklad bežný zlomok 7/10 je rovnaký ako desatinný zlomok 0,7. (8/100 = 0,08; 2 celé 3/10 = 2,3; 7 celých 1/1000 = 7 001). Samostatný článok bude venovaný prevodu obyčajných zlomkov na desatinné a naopak. Operácie s desatinnými zlomkami – ostatné články.
Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako spoločný zlomok s menovateľom 1. (5=5/1; −765=−765/1).
Definícia: Všetky čísla, ktoré možno znázorniť ako zlomok, sa nazývajú racionálne čísla. Množinu racionálnych čísel označujeme písmenom Q.
Pri vzájomnom delení ľubovoľných dvoch celých čísel (okrem delenia 0) bude výsledkom vždy racionálne číslo. Pre obyčajné zlomky existujú pravidlá pre sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, ktoré vám umožňujú vykonať zodpovedajúcu operáciu s ľubovoľnými dvoma zlomkami a tiež získať racionálne číslo (zlomok alebo celé číslo).
Množina racionálnych čísel je prvou z množín, o ktorých sme uvažovali, v ktorej môžete sčítať, odčítať, násobiť a deliť (okrem delenia 0), pričom nikdy neprekročíte hranice tejto množiny (to znamená, že vždy dostanete racionálne číslo). číslo ako výsledok).
Zdalo by sa, že neexistujú žiadne iné čísla, všetky čísla sú racionálne. Ale ani to nie je pravda.
Reálne čísla
Existujú čísla, ktoré nemožno znázorniť ako zlomok m/n (kde m je celé číslo, n je prirodzené číslo).Aké sú tieto čísla? O operácii umocňovania sme ešte neuvažovali. Napríklad 4 2 = 4 · 4 = 16. 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125. Tak ako je násobenie pohodlnejšou formou zápisu a výpočtu sčítania, tak aj umocňovanie je forma zápisu násobenia toho istého čísla samo o sebe určitý počet krát.
Teraz sa však pozrime na inverznú operáciu umocňovania – extrakciu koreňov. Druhá odmocnina z 16 je číslo, ktoré odmocninou dá 16, teda číslo 4. Druhá odmocnina z 9 je 3. Odmocnina napríklad 5 alebo 2 nemôže byť reprezentované racionálnym číslom. (Dôkaz tohto tvrdenia, ďalšie príklady iracionálne čísla a ich históriu si môžete pozrieť napríklad na Wikipédii)
V GIA v 9. ročníku je úlohou určiť, či číslo obsahujúce koreň vo svojom zápise je racionálne alebo iracionálne. Úlohou je pokúsiť sa toto číslo previesť do tvaru, ktorý neobsahuje koreň (pomocou vlastností koreňov). Ak sa nemôžete zbaviť koreňa, potom je číslo iracionálne.
Ďalším príkladom iracionálneho čísla je číslo π, známe každému z geometrie a trigonometrie.
Definícia: Racionálne a iracionálne čísla spolu nazývame reálne (alebo reálne) čísla. Množina všetkých reálnych čísel je označená písmenom R.
V reálnych číslach, na rozdiel od racionálnych čísel, môžeme vyjadriť vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi na priamke alebo rovine.
Ak nakreslíte priamku a vyberiete na nej dva ľubovoľné body alebo dva ľubovoľné body v rovine, môže sa ukázať, že presnú vzdialenosť medzi týmito bodmi nemožno vyjadriť ako racionálne číslo. (Príklad - prepona pravouhlého trojuholníka s nohami 1 a 1 sa podľa Pytagorovej vety bude rovnať odmocnine z dvoch - teda iracionálnemu číslu. Patrí sem aj presná dĺžka uhlopriečky bunky tetrády (dĺžka uhlopriečky akéhokoľvek ideálneho štvorca s integrálnymi stranami).)
A v množine reálnych čísel môžu byť ľubovoľné vzdialenosti na priamke, v rovine alebo v priestore vyjadrené zodpovedajúcim reálnym číslom.
Toto sú čísla, ktoré sa používajú pri počítaní: 1, 2, 3... atď.
Nula nie je prirodzená.
Prirodzené čísla sa zvyčajne označujú symbolom N.
Celé čísla. Kladné a záporné čísla
Volajú sa dve čísla, ktoré sa od seba líšia iba znamienkom opak, napríklad +1 a -1, +5 a -5. Znamienko „+“ sa zvyčajne nepíše, ale predpokladá sa, že pred číslom je „+“. Takéto čísla sa nazývajú pozitívne. Volajú sa čísla, pred ktorými je znak „-“. negatívne.
Prirodzené čísla, ich protiklady a nula sa nazývajú celé čísla. Množina celých čísel je označená symbolom Z.
Racionálne čísla
Sú to konečné zlomky a nekonečné periodické zlomky. Napríklad,
Množina racionálnych čísel je označená Q. Všetky celé čísla sú racionálne.
Iracionálne čísla
Nekonečný neperiodický zlomok sa nazýva iracionálne číslo. Napríklad:
Označuje sa množina iracionálnych čísel J.
Reálne čísla
Množina všetkých racionálnych a všetkých iracionálnych čísel sa nazýva súbor skutočného (skutočného)čísla.
Reálne čísla sú reprezentované symbolom R.
Zaokrúhľovanie čísel
Zvážte číslo 8,759123... . Zaokrúhlenie na najbližšie celé číslo znamená zapísanie len tej časti čísla, ktorá je pred desatinnou čiarkou. Zaokrúhlením na desatiny sa rozumie zapísanie celej časti a jednej číslice za desatinnou čiarkou; zaokrúhliť na najbližšiu stotinu - dve číslice za desatinnou čiarkou; až tisíciny - tri číslice atď.
