Typy iracionálnych čísel. Čo znamená iracionálne číslo? Definícia iracionálneho čísla

Racionálne číslo– číslo reprezentované obyčajným zlomkom m/n, kde čitateľ m je celé číslo a menovateľ n je prirodzené číslo. Akékoľvek racionálne číslo môže byť reprezentované ako periodický nekonečný desatinný zlomok. Množinu racionálnych čísel označujeme Q.

Ak reálne číslo nie je racionálne, potom je iracionálne číslo. Desatinné zlomky vyjadrujúce iracionálne čísla sú nekonečné a neperiodické. Súbor iracionálnych čísel sa zvyčajne označuje veľkým písmenom I.

Zavolá sa skutočné číslo algebraické, ak ide o koreň nejakého polynómu (nenulového stupňa) s racionálnymi koeficientmi. Volá sa akékoľvek nealgebraické číslo transcendentálny.

Niektoré vlastnosti:

Množina racionálnych čísel sa nachádza všade husto na číselnej osi: medzi akýmikoľvek dvoma rôznymi racionálnymi číslami je aspoň jedno racionálne číslo (a teda nekonečná množina racionálnych čísel). Ukazuje sa však, že množina racionálnych čísel Q a množina prirodzených čísel N sú ekvivalentné, to znamená, že medzi nimi možno vytvoriť korešpondenciu jedna ku jednej (všetky prvky množiny racionálnych čísel možno prečíslovať) .

Množina Q racionálnych čísel je uzavretá pri sčítaní, odčítaní, násobení a delení, čiže súčet, rozdiel, súčin a kvocient dvoch racionálnych čísel sú tiež racionálne čísla.

Všetky racionálne čísla sú algebraické (opak je nepravdivý).

Každé skutočné transcendentálne číslo je iracionálne.

Každé iracionálne číslo je buď algebraické alebo transcendentálne.

Množina iracionálnych čísel je všade na číselnej osi hustá: medzi akýmikoľvek dvoma číslami je iracionálne číslo (a teda nekonečná množina iracionálnych čísel).

Množina iracionálnych čísel je nespočítateľná.

Pri riešení úloh je vhodné spolu s iracionálnym číslom a + b√ c (kde a, b sú racionálne čísla, c je celé číslo, ktoré nie je druhou mocninou prirodzeného čísla) uvažovať aj o „konjugovanom“ čísle a – b√ c: jeho súčet a súčin s pôvodnými – racionálnymi číslami. Takže a + b√ c a a – b√ c sú korene kvadratickej rovnice s celočíselnými koeficientmi.

Problémy s riešeniami

1. Dokážte to

a) číslo √ 7;

b) log číslo 80;

c) počet √ 2 + 3 √ 3;

je iracionálne.

a) Predpokladajme, že číslo √ 7 je racionálne. Potom existujú koprimé p a q také, že √ 7 = p/q, z čoho dostaneme p 2 = 7q 2 . Keďže p a q sú relatívne prvočísla, potom p 2, a teda p je deliteľné 7. Potom p = 7k, kde k je nejaké prirodzené číslo. Preto q 2 = 7k 2 = pk, čo je v rozpore so skutočnosťou, že p a q sú koprimé.

Takže predpoklad je nepravdivý, čo znamená, že číslo √ 7 je iracionálne.

b) Predpokladajme, že číslo log 80 je racionálne. Potom existujú prirodzené p a q také, že log 80 = p/q alebo 10 p = 80 q, z čoho dostaneme 2 p–4q = 5 q–p. Ak vezmeme do úvahy, že čísla 2 a 5 sú relatívne prvočísla, zistíme, že posledná rovnosť je možná len pre p–4q = 0 a q–p = 0. Odkiaľ teda p = q = 0, čo je nemožné, keďže sú zvolené p a q byť prirodzený.

Takže predpoklad je nepravdivý, čo znamená, že číslo lg 80 je iracionálne.

c) Označme toto číslo x.

Potom (x – √ 2) 3 = 3 alebo x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2). Po kvadratúre tejto rovnice zistíme, že x musí rovnicu spĺňať

x 6 – 6 x 4 – 6 x 3 + 12 x 2 – 36 x + 1 = 0.

Jeho racionálne korene môžu byť iba čísla 1 a –1. Kontrola ukazuje, že 1 a –1 nie sú korene.

Dané číslo √ 2 + 3 √ 3 je teda iracionálne.

2. Je známe, že čísla a, b, √a – √b,– racionálny. Dokáž to √a a √b sú tiež racionálne čísla.

Pozrime sa na prácu

(√ a – √ b)·(√ a + √ b) = a – b.

číslo √a + √b,čo sa rovná podielu čísel a – b a √a – √b, je racionálne, pretože kvocient dvoch racionálnych čísel je racionálne číslo. Súčet dvoch racionálnych čísel

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a – √ b) = √ a

- racionálne číslo, ich rozdiel,

½ (√ a + √ b) – ½ (√ a – √ b) = √ b,

je tiež racionálne číslo, čo je potrebné dokázať.

3. Dokážte, že existujú kladné iracionálne čísla a a b, pre ktoré je číslo a b prirodzeným číslom.

4. Existujú racionálne čísla a, b, c, d, ktoré spĺňajú rovnosť?

(a + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2,

kde n je prirodzené číslo?

Ak je splnená rovnosť daná v podmienke a čísla a, b, c, d sú racionálne, potom je splnená aj rovnosť:

(a–b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Ale 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Výsledný rozpor dokazuje, že pôvodná rovnosť nie je možná.

Odpoveď: neexistujú.

5. Ak úsečky s dĺžkami a, b, c tvoria trojuholník, potom pre všetky n = 2, 3, 4, . . . úsečky s dĺžkami n √ a, n √ b, n √ c tiež tvoria trojuholník. Dokázať to.

Ak segmenty s dĺžkami a, b, c tvoria trojuholník, potom trojuholníková nerovnosť dáva

Preto máme

(n √ a + n √ b) n > a + b > c = (n √ c) n,

N √ a + n √ b > n √ c.

Zvyšné prípady kontroly trojuholníkovej nerovnosti sa posudzujú podobne, z čoho vyplýva záver.

6. Dokážte, že nekonečný desatinný zlomok 0,1234567891011121314... (za desatinnou čiarkou sú zapísané všetky prirodzené čísla v poradí) je iracionálne číslo.

Ako viete, racionálne čísla sú vyjadrené ako desatinné zlomky, ktoré majú bodku začínajúcu od určitého znamienka. Preto stačí dokázať, že tento zlomok nie je v žiadnom znamení periodický. Predpokladajme, že to tak nie je a nejaká postupnosť T s n číslicami je perióda zlomku, ktorá začína na m-tom desatinnom mieste. Je jasné, že medzi číslicami za m-tým znamienkom sú nenulové jednotky, preto je v poradí číslic T nenulová. To znamená, že počnúc m-tou číslicou za desatinnou čiarkou je medzi ľubovoľnými n číslicami v rade nenulová číslica. Avšak v desiatkový zápis pre tento zlomok musí existovať desatinný zápis čísla 100...0 = 10 k, kde k > m ak > n. Je jasné, že tento záznam sa nachádza napravo od m-tej číslice a obsahuje viac ako n núl v rade. Tak dostaneme rozpor, ktorý dokončí dôkaz.

7. Je daný nekonečný desatinný zlomok 0,a 1 a 2 ... . Dokážte, že číslice v jeho desiatkovom zápise možno preusporiadať tak, aby výsledný zlomok vyjadroval racionálne číslo.

Pripomeňme si, že zlomok vyjadruje racionálne číslo práve vtedy, ak je periodické, počnúc od určitého znamienka. Čísla od 0 do 9 rozdelíme do dvoch tried: do prvej triedy zahrnieme tie čísla, ktoré sa v pôvodnom zlomku vyskytujú konečný počet krát, do druhej triedy zaradíme tie, ktoré sa v pôvodnom zlomku vyskytujú nekonečne veľa. krát. Začnime písať periodický zlomok, ktorý je možné získať z originálu preskupením čísel. Najprv za nulou a čiarkou napíšeme v náhodnom poradí všetky čísla z prvej triedy – každé toľkokrát, koľkokrát sa objaví v zápise pôvodného zlomku. Prvé zaznamenané číslice triedy budú predchádzať bodke v zlomkovej časti desatinnej čiarky. Ďalej si postupne zapíšme čísla z druhej triedy v určitom poradí. Túto kombináciu vyhlásime za bodku a zopakujeme ju nekonečne veľakrát. Takto sme vypísali požadovaný periodický zlomok vyjadrujúci určité racionálne číslo.

8. Dokážte, že v každom nekonečnom desatinnom zlomku existuje postupnosť desatinných miest ľubovoľnej dĺžky, ktorá sa pri rozklade zlomku vyskytuje nekonečne veľakrát.

Nech m je ľubovoľne dané prirodzené číslo. Rozdeľme tento nekonečný desatinný zlomok na segmenty s m číslicami v každom. Takýchto segmentov bude nekonečné množstvo. Na druhej strane existuje len 10 m rôznych systémov pozostávajúcich z m číslic, t. j. konečného čísla. V dôsledku toho sa tu musí aspoň jeden z týchto systémov opakovať nekonečne veľakrát.

Komentujte. Pre iracionálne čísla √ 2, π alebo e ani nevieme, ktorá číslica sa nekonečne veľakrát opakuje v nekonečných desatinných zlomkoch, ktoré ich reprezentujú, hoci každé z týchto čísel sa dá ľahko dokázať, že obsahuje aspoň dve rôzne takéto číslice.

9. Elementárne dokážte, že kladný koreň rovnice

je iracionálne.

Pre x > 0 sa ľavá strana rovnice zväčšuje s x a je ľahké vidieť, že pri x = 1,5 je menšia ako 10 a pri x = 1,6 je väčšia ako 10. Preto jediný kladný koreň rovnica leží vo vnútri intervalu (1,5 ; 1,6).

Napíšme koreň ako neredukovateľný zlomok p/q, kde p a q sú nejaké relatívne prvočísla prirodzené čísla. Potom pri x = p/q bude mať rovnica nasledujúci tvar:

p 5 + pq 4 = 10 q 5,

z čoho vyplýva, že p je deliteľom 10, preto sa p rovná jednému z čísel 1, 2, 5, 10. Pri písaní zlomkov s čitateľmi 1, 2, 5, 10 si však hneď všimneme, že žiadna z nich nespadá do intervalu (1,5; 1,6).

Takže kladný koreň pôvodnej rovnice nemôže byť reprezentovaný ako obyčajný zlomok, a preto je iracionálnym číslom.

10. a) Sú v rovine tri body A, B a C také, že pre ktorýkoľvek bod X je dĺžka aspoň jedného z úsečiek XA, XB a XC iracionálna?

b) Súradnice vrcholov trojuholníka sú racionálne. Dokážte, že súradnice stredu jej opísanej kružnice sú tiež racionálne.

c) Existuje taká sféra, na ktorej je práve jeden racionálny bod? (Racionálny bod je bod, pre ktorý sú všetky tri karteziánske súradnice racionálnymi číslami.)

a) Áno, existujú. Nech C je stred segmentu AB. Potom XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Ak je číslo AB 2 iracionálne, potom čísla XA, XB a XC nemôžu byť súčasne racionálne.

b) Nech (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) a (a 3 ; b 3) sú súradnice vrcholov trojuholníka. Súradnice stredu jej opísanej kružnice sú dané sústavou rovníc:

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2,

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2.

Je ľahké skontrolovať, či sú tieto rovnice lineárne, čo znamená, že riešenie uvažovaného systému rovníc je racionálne.

c) Takáto guľa existuje. Napríklad guľa s rovnicou

(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Bod O so súradnicami (0; 0; 0) je racionálny bod ležiaci na tejto gule. Zvyšné body gule sú iracionálne. Poďme to dokázať.

Predpokladajme opak: nech (x; y; z) je racionálny bod gule, odlišný od bodu O. Je jasné, že x je odlišné od 0, keďže pri x = 0 existuje jedinečné riešenie (0; 0; 0), ktorý nie je teraz k dispozícii. Otvorme zátvorky a vyjadrime √ 2:

x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

čo sa nemôže stať s racionálnym x, y, z a iracionálnym √ 2. Takže O(0; 0; 0) je jediný racionálny bod na uvažovanej sfére.

Problémy bez riešení

1. Dokážte, že číslo

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60) \]

je iracionálne.

2. Pre aké celé čísla m a n platí rovnosť (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. Existuje číslo a také, že čísla a – √ 3 a 1/a + √ 3 sú celé čísla?

4. Môžu byť čísla 1, √ 2, 4 členmi (nie nevyhnutne susednými) aritmetickej postupnosti?

5. Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené číslo n rovnica (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 nemá riešenia v racionálnych číslach (x; y).

Iracionálne číslo môže byť reprezentované ako nekonečný neperiodický zlomok. Množina iracionálnych čísel je označená $I$ a rovná sa: $I=R / Q$ .

Napríklad. Iracionálne čísla sú:

Operácie na iracionálnych číslach

Na množine iracionálnych čísel možno zaviesť štyri základné aritmetické operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie; ale pre žiadnu z uvedených operácií nemá množina iracionálnych čísel tú vlastnosť, že je uzavretá. Napríklad súčet dvoch iracionálnych čísel môže byť racionálne číslo.

Napríklad. Nájdite súčet dvoch iracionálnych čísel $0,1010010001 \ldots$ a $0,0101101110 \ldots$ . Prvé z týchto čísel je tvorené sekvenciou jednotiek oddelených jednou nulou, dvoma nulami, tromi nulami atď., druhé - sekvenciou núl, medzi ktorými sú umiestnené jedna, dve jednotky, tri jednotky, atď.:

$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

Súčet dvoch daných iracionálnych čísel je teda číslo $\frac(1)(9)$, ktoré je racionálne.

Príklad

Cvičenie. Dokážte, že číslo $\sqrt(3)$ je iracionálne.

Dôkaz. Použijeme metódu dôkazu kontradikciou. Predpokladajme, že $\sqrt(3)$ je racionálne číslo, to znamená, že ho možno reprezentovať ako zlomok $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , kde $m$ a $n$ sú koprimované prirodzené čísla.

Vyrovnajme obe strany rovnosti a získajme

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Šípka doľavadoprava 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

Číslo 3$\cdot n^(2)$ je deliteľné 3. Preto $m^(2)$ a teda $m$ je deliteľné 3. Nastavenie $m=3 \cdot k$, rovnosť $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ možno zapísať ako

$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \vľavodoprava 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \vľavodoprava n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

Z poslednej rovnosti vyplýva, že $n^(2)$ a $n$ sú deliteľné 3, preto zlomok $\frac(m)(n)$ možno zmenšiť 3. Ale za predpokladu, že zlomok $ \frac(m)( n)$ je neredukovateľné. Výsledný rozpor dokazuje, že číslo $\sqrt(3)$ nemožno reprezentovať ako zlomok $\frac(m)(n)$, a preto je iracionálne.

Q.E.D.

Čo sú to iracionálne čísla? Prečo sa tak volajú? Kde sa používajú a aké sú? Len málo ľudí dokáže odpovedať na tieto otázky bez rozmýšľania. Ale v skutočnosti sú odpovede na ne celkom jednoduché, hoci nie každý ich potrebuje a vo veľmi zriedkavých situáciách

Esencia a označenie

Iracionálne čísla sú nekonečné neperiodické čísla Potreba zaviesť tento pojem je spôsobená skutočnosťou, že na riešenie nových problémov, ktoré sa objavia, už predtým existujúce pojmy reálnych alebo reálnych, celých, prirodzených a racionálnych čísel nestačili. Napríklad, ak chcete vypočítať, ktoré množstvo je druhá mocnina 2, musíte použiť neperiodické nekonečné desatinné miesta. Okrem toho mnohé jednoduché rovnice nemajú riešenie bez zavedenia konceptu iracionálneho čísla.

Táto množina je označená ako I. A ako je už jasné, tieto hodnoty nemožno reprezentovať ako jednoduchý zlomok, ktorého čitateľ bude celé číslo a menovateľ bude

Prvýkrát, tak či onak, sa indickí matematici s týmto javom stretli v 7. storočí, keď sa zistilo, že odmocniny niektorých veličín nie je možné výslovne uviesť. A prvý dôkaz existencie takýchto čísel sa pripisuje pytagorejskému Hippasovi, ktorý to urobil pri štúdiu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Niektorí ďalší vedci, ktorí žili pred naším letopočtom, vážne prispeli k štúdiu tohto súboru. Zavedenie konceptu iracionálnych čísel si vyžiadalo revíziu existujúceho matematického systému, a preto sú také dôležité.

pôvod mena

Ak je pomer preložený z latinčiny „zlomok“, „pomer“, potom predpona „ir“
dáva tomuto slovu opačný význam. Názov množiny týchto čísel teda naznačuje, že ich nemožno korelovať s celým číslom alebo zlomkom a majú samostatné miesto. Vyplýva to z ich podstaty.

Miesto vo všeobecnej klasifikácii

Iracionálne čísla patria spolu s racionálnymi číslami do skupiny reálnych alebo reálnych čísel, ktoré zasa patria do komplexných čísel. Neexistujú žiadne podmnožiny, ale existujú algebraické a transcendentálne odrody, o ktorých sa bude diskutovať nižšie.

Vlastnosti

Keďže iracionálne čísla sú súčasťou množiny reálnych čísel, vzťahujú sa na ne všetky ich vlastnosti, ktoré sa študujú v aritmetike (nazývajú sa aj základné algebraické zákony).

a + b = b + a (komutativita);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativita);

a + (-a) = 0 (existencia opačného čísla);

ab = ba (komutatívny zákon);

(ab)c = a(bc) (distributívnosť);

a(b+c) = ab + ac (zákon o rozdelení);

a x 1/a = 1 (existencia recipročného čísla);

Porovnanie sa vykonáva aj v súlade so všeobecnými zákonmi a zásadami:

Ak a > b a b > c, potom a > c (tranzitivita vzťahu) a. atď.

Samozrejme, všetky iracionálne čísla sa dajú previesť pomocou zákl aritmetické operácie. žiadne osobitné pravidlá zároveň č.

Okrem toho platí Archimedova axióma pre iracionálne čísla. Uvádza, že pre ľubovoľné dve veličiny a a b platí, že ak vezmete a ako výraz dostatočne veľakrát, môžete poraziť b.

Použitie

Napriek tomu, že sa s nimi v každodennom živote veľmi často nestretávate, iracionálne čísla sa nedajú spočítať. Je ich obrovské množstvo, no takmer ich nevidno. Iracionálne čísla sú všade okolo nás. Príklady, ktoré sú známe každému, sú číslo pi, ktoré sa rovná 3,1415926..., alebo e, ktoré je v podstate základom prirodzeného logaritmu, 2,718281828... V algebre, trigonometrii a geometrii sa musia používať neustále. Mimochodom, slávny význam"zlatý pomer", teda pomer väčšej časti k menšej časti a naopak, tiež

patrí do tejto sady. Aj ten menej známy „strieborný“.

Na číselnej osi sú umiestnené veľmi husto, takže medzi akýmikoľvek dvoma veličinami klasifikovanými ako racionálne sa určite vyskytne jedna iracionálna.

S touto súpravou je spojených ešte veľa nevyriešených problémov. Existujú kritériá, ako je miera iracionality a normalita čísla. Matematici pokračujú v štúdiu najvýznamnejších príkladov, aby zistili, či patria do jednej alebo druhej skupiny. Napríklad sa predpokladá, že e je normálne číslo, t.j. pravdepodobnosť výskytu rôznych číslic v jeho zápise je rovnaká. Pokiaľ ide o pí, stále prebiehajú výskumy týkajúce sa toho. Miera iracionality je hodnota, ktorá ukazuje, ako dobre sa dá dané číslo aproximovať racionálnymi číslami.

Algebraické a transcendentálne

Ako už bolo spomenuté, iracionálne čísla sa konvenčne delia na algebraické a transcendentálne. Podmienečne, keďže, prísne vzaté, táto klasifikácia sa používa na rozdelenie množiny C.

Toto označenie skrýva komplexné čísla, ktoré zahŕňajú reálne alebo reálne čísla.

Algebraické je teda hodnota, ktorá je koreňom polynómu, ktorý nie je identicky rovný nule. Napríklad, Odmocnina z 2 by spadalo do tejto kategórie, pretože je riešením rovnice x 2 - 2 = 0.

Všetky ostatné reálne čísla, ktoré nespĺňajú túto podmienku, sa nazývajú transcendentálne. Táto varieta zahŕňa najznámejšie a už spomínané príklady - číslo pí a základ prirodzeného logaritmu e.

Zaujímavé je, že ani jedno, ani druhé neboli pôvodne vyvinuté matematikmi v tejto funkcii, ich iracionalita a transcendencia boli preukázané mnoho rokov po ich objave. Pre pí bol dôkaz uvedený v roku 1882 a zjednodušený v roku 1894, čím sa skončila 2500-ročná debata o probléme kvadratúry kruhu. Ešte to nie je úplne preštudované, takže moderní matematici je na čom pracovať. Mimochodom, prvý pomerne presný výpočet tejto hodnoty vykonal Archimedes. Pred ním boli všetky výpočty príliš približné.

Pre e (Eulerovo alebo Napierovo číslo) sa v roku 1873 našiel dôkaz o jeho transcendencii. Používa sa pri riešení logaritmických rovníc.

Ďalšie príklady zahŕňajú hodnoty sínus, kosínus a tangens pre akúkoľvek algebraickú nenulovú hodnotu.

Už starovekí matematici vedeli o segmente jednotkovej dĺžky: poznali napríklad nesúmerateľnosť uhlopriečky a strany štvorca, čo sa rovná iracionalite čísla.

Iracionálne sú:

Príklady dôkazov iracionality

Koreň z 2

Predpokladajme opak: je racionálny, to znamená, že je reprezentovaný vo forme neredukovateľného zlomku, kde a sú celé čísla. Vyrovnajme predpokladanú rovnosť:

Z toho vyplýva, že párne je párne a . Nech je tam, kde je celok. Potom

Preto párne znamená párne a . Zistili sme, že a sú párne, čo je v rozpore s neredukovateľnosťou zlomku . To znamená, že pôvodný predpoklad bol nesprávny a ide o iracionálne číslo.

Binárny logaritmus čísla 3

Predpokladajme opak: je racionálny, to znamená, že je reprezentovaný ako zlomok, kde a sú celé čísla. Od , a môžu byť vybrané ako pozitívne. Potom

Ale párne a nepárne. Dostávame rozpor.

e

Príbeh

Koncept iracionálnych čísel bol implicitne prijatý indickými matematikmi v 7. storočí pred Kristom, keď Manava (asi 750 pred Kristom - asi 690 pred Kristom) prišiel na to, že odmocniny niektorých prirodzených čísel, ako sú 2 a 61, nemožno explicitne vyjadriť. .

Prvý dôkaz o existencii iracionálnych čísel sa zvyčajne pripisuje Hippasovi z Metapontu (asi 500 pred Kr.), Pytagorejcovi, ktorý tento dôkaz našiel štúdiom dĺžok strán pentagramu. V dobe Pytagorejcov sa verilo, že existuje jediná jednotka dĺžky, dostatočne malá a nedeliteľná, ktorá vstupuje do akéhokoľvek segmentu viackrát ako celé číslo. Hippus však tvrdil, že neexistuje jednotná jednotka dĺžky, pretože predpoklad jej existencie vedie k rozporu. Ukázal, že ak prepona rovnoramenného pravouhlého trojuholníka obsahuje celé číslo jednotkových segmentov, potom toto číslo musí byť párne aj nepárne. Dôkaz vyzeral takto:

Pomer dĺžky prepony k dĺžke ramena rovnoramenného pravouhlého trojuholníka možno vyjadriť ako a:b, Kde a A b zvolený ako najmenší možný.
Podľa Pytagorovej vety: a² = 2 b².
Pretože a- dokonca, a musí byť párne (keďže druhá mocnina nepárneho čísla by bola nepárna).
Pretože a:b neredukovateľný b musí byť nepárne.
Pretože a dokonca, označujeme a = 2r.
Potom a² = 4 r² = 2 b².
b² = 2 r² teda b- aj vtedy b dokonca.
Je však dokázané, že b zvláštny. Rozpor.

Grécki matematici nazývali tento pomer nesúmerateľných veličín alogos(nevýslovné), ale podľa legiend nevzdali Hippasovi náležitú úctu. Existuje legenda, že Hippasus objavil objav počas plavby po mori a bol hodený cez palubu inými Pytagorejcami, „za to, že vytvoril prvok vesmíru, ktorý popiera doktrínu, že všetky entity vo vesmíre možno redukovať na celé čísla a ich pomery“. Objav Hippusa predstavoval vážny problém pre pytagorovskú matematiku, pretože zničil základný predpoklad, že čísla a geometrické objekty sú jedno a neoddeliteľné.

pozri tiež

Poznámky

Numerické sústavy
Počítanie súpravy	celé čísla ()

Aké čísla sú iracionálne? Iracionálne číslo nie je racionálne reálne číslo, t.j. nemôže byť reprezentovaný ako zlomok (ako podiel dvoch celých čísel), kde m- celé číslo, n- prirodzené číslo . Iracionálne číslo môže byť reprezentovaný ako nekonečný neperiodický desatinný zlomok.

Iracionálne číslo nemôže mať presná hodnota. Len vo formáte 3.333333…. Napríklad, druhá odmocnina z dvoch je iracionálne číslo.

Ktoré číslo je iracionálne? Iracionálne číslo(na rozdiel od racionálneho) sa nazýva nekonečný desatinný neperiodický zlomok.

Sada iracionálnych číselčasto označené veľkým latinským písmenom tučným písmom bez tieňovania. To.:

Tie. Množina iracionálnych čísel je rozdiel medzi množinami reálnych a racionálnych čísel.

Vlastnosti iracionálnych čísel.

Súčet 2 nezáporných iracionálnych čísel môže byť racionálne číslo.
Iracionálne čísla definujú Dedekindove rezy v množine racionálnych čísel, v nižšej triede ktorých nie je najväčšie číslo a vo vyššej triede nie je menšie.
Každé skutočné transcendentálne číslo je iracionálne číslo.
Všetky iracionálne čísla sú buď algebraické alebo transcendentálne.
Množina iracionálnych čísel je hustá všade na číselnej osi: medzi každou dvojicou čísel je jedno iracionálne číslo.
Poradie na množine iracionálnych čísel je izomorfné s poradím na množine reálnych transcendentálnych čísel.
Množina iracionálnych čísel je nekonečná a je množinou 2. kategórie.
Výsledkom každej aritmetickej operácie s racionálnymi číslami (okrem delenia 0) je racionálne číslo. Výsledkom aritmetických operácií na iracionálnych číslach môže byť racionálne alebo iracionálne číslo.
Súčet racionálneho a iracionálneho čísla bude vždy iracionálnym číslom.
Súčet iracionálnych čísel môže byť racionálne číslo. Napríklad, nech X potom iracionálne y=x*(-1) aj iracionálne; x+y=0, a číslo 0 racionálne (ak napríklad sčítame odmocninu ľubovoľného stupňa 7 a mínus odmocninu toho istého stupňa sedem, dostaneme racionálne číslo 0).